Introduzione

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Digital Signal Processing (DSP) 3

L'analogo della distribuzione delta è nel caso discreto la semplice successione che vale sempre 0 tranne che nell'origine, dove vale 1. A tale successione daremo ancora il nome di delta.
Si osservi che se un operatore è lineare e invariante per shift, allora è caratterizzato dalla successione Trasformata della delta .
Infatti ogni T(x) si calcola facendo il prodotto di convoluzione di x con h.

Ad ogni successione x si può associare una Serie di Laurent nella variabile complessa z, e si ottiene così la z-Trasformata o di Borel:

Questa trasformazione è piuttosto utile per studiare la risposta in frequenza di un operatore.
Infatti la z-Trasformata di un prodotto di convoluzione diventa il prodotto delle z-Trasformate.
Inoltre dalla formula del teorema di Nyquist, sappiamo che la trasformata di Fourier del segnale continuo di cui la successione x è il campionamento si scrive come serie trigonometrica, e quindi a meno di un ovvio cambio di variabile è uguale alla z-Trasformata divisa per la frequenza di campionamento.

Supponiamo quindi di avere in ingresso un segnale continuo, di campionarlo con una frequenza di campionamento frequenza nu

, ottenere una successione di valori x, di applicarvi un operatore T lineare ed invariante per shift, ottenendo una successione y, che quindi fornisce un segnale continuo in uscita.

La relazione tra la trasformata di Fourier del segnale in ingresso e quello in uscita è data proprio da: Risposta in frequenza

ove

Di solito si plotta Risposta in decibel

facendo variare il parametro

tra 0 e 1, che corrisponde a fare variare la frequenza tra 0 e metà della frequenza di campionamento, cioè fino alla frequenza di Nyquist.

Per esempio, se h ha solo un numero finito di termini non nulli (filtri FIR, vedi più avanti) usando maple, bastano questi due comandi:

v:=readdata("/tmp/dati.fir",float);

plot(20*log10(abs(add(evalf(v[k+1]*exp(-Pi*I*x*(k-1))),k=1..v[1]))),x=0..1);

(potete copiare il relativo maple worksheet o vedere l'esempio)

Analogamente in octave o in matlab si può ottenere un simile grafico con questo script risposta.m e comunque ci sono appositi comandi che vediamo in dettaglio più avanti.
Si noti che questa volta nel file solo_dati.fir non si deve mettere al primo posto il numero di elementi del filtro, che octave o in matlab calcolano automaticamente man mano che leggono i dati.

Laboratorio Sperimentale di Matematica Computazionale - parte II Sergio Steffè - AA 2015/2016 - PISA